Interesting mistakes

I taught a course in Linear and Integer Optimization last semester, the exam of which was held last week. I'm fairly pleased with the results. Grading an exam is often painful when you realize that some students failed to understand important concepts, but overall it appears that my expectations about the difficulty of this exam were mostly accurate. Sometimes, however, students fail at a problem for reasons that we do not anticipate. One problem of the exam was to prove that when P and Q are (convex) polytopes, then so is their Minkowski sum P + Q.

I am aware of two reasonable approaches to this problem. The first is to use inequality representations to argue that the product P x Q is a polyhedron, and then appeal to the fact (shown in the lecture) that the image under the linear map (p, q) -> p + q is a polyhedron (boundedness is of course easy to see, and naturally there are some variations of this approach). The second approach is to use representations of P and Q as convex hulls of finitely many points, and to show that P + Q is the convex hull of the pairwise sum of such points. This second proof is elementary but requires a bit more work because one has to argue about the coefficients in convex combinations.

To my surprise, several students attempted a third route. They started with inequality representations and used the boundedness to argue that given one of the inequalities ax <= b that define P, the maximum of ax over Q is finite. They then tried to prove that P + Q can be obtained by simply using both the inequalities defining P and those defining Q together, with the right-hand sides increased by the corresponding (finite) maximum over the other polytope. This approach cannot possibly work because the number of facets of the Minkowski sum can be exponentially larger than the number of facets of the summands (the permutahedron is a cute example of this). And yet, in hindsight, it is a very plausible approach to try if one doesn't know about this fact.

As mistakes go, I would call this an interesting mistake. In some sense it isn't even a mistake at all, just a false trail into the woods that unfortunately some students got lost in.

Katharsis durch geschriebene und nicht abgeschickte Kommentare

Das ist schon fast jedem passiert: Man liest den Online-Kommentar irgendeines unbekannten Fremden, den man für furchtbaren Unfug hält. Unbedingt muss man ihn oder sie verbessern! So füllen sich die Kommentar-Bereiche von Blogs, und es werden Monster wie die Foren von Spiegel Online geschaffen.

Ich schließe mich da nicht aus. Auf Blogs, die ich regelmäßig lese, treibt sich die ein oder andere dort schon gut bekannte Person herum, mit der ich überhaupt nicht auf einen Nenner komme. Unsere größte Gemeinsamkeit, zumindest der ausgetauschten Kommentare nach zu urteilen, ist, dass wir zu viel Zeit auf Blogs verbringen.

Am besten wäre es, das alles zu ignorieren. Manchmal geht das auch, aber immer wieder kommt es vor, dass ein Kommentar an mir nagt, wenn mal wieder jemand etwas (für mich...) Offensichtliches nicht verstanden hat oder - und das ist oft wahrscheinlicher - nicht verstehen will. Dann ertappe ich mich dabei, zumindest einen kurzen Kommentar zu schreiben, der eine nutzlose Diskussion nur noch weiter verlängert. Es tut gut, in einer solchen Situation inne zu halten, kurz die Augen zu schließen, und den begonnenen Kommentar einfach wieder zu löschen, bevor er meinen Computer verlässt.

Danach fühle ich mich gut - und obwohl der Kommentar letztlich nicht abgeschickt wurde ist das nagende Gefühl, das ein gänzlich unbeantworteter Kommentar ausgelöst hat, verschwunden. Gleichzeitig ist die Diskussion beendet, so dass Zeit und zukünftige nagende Gefühle gespart werden.

Meistens ist das die beste Lösung. Es ist ziemlich irrational und unlogisch, aber so ist die Psyche nun mal. Ich kann die Strategie daher nur weiterempfehlen.

In der Schweiz Erwähnenswertes

Als ich letztes Wochenende aus Oberwolfach zurück gefahren bin, musste ich mit ein paar Kollegen in Offenburg auf den Anschlusszug warten. Dort hatte die Bahn einen Aushang, auf dem Sonderzüge zu einem sogenannten "Basler Morgestraich" angekündigt wurden.

Neugierig und mit intelligenten Telefonen bewaffnet haben wir also den Wikipedia-Artikel gelesen, den ich für die geneigte Leserin hier nicht kopieren muss. Aber wir haben doch gestutzt, dass der Bericht über die falsch gestellte Uhr, wegen der der Morgestraich im Jahr 2002 eine Minute zu früh gestartet ist, fast 10% des Artikels ausmacht. Was manche Menschen eben so bewegt...

The tone of Linus Torvalds

Linus Torvalds is known for verbally ruffling feathers. I was reminded of this once more when a thread about a workaround for a bug in rarely used graphics cards caught my eye.

There's no disagreement going on - unlike in the more famous examples of Linus Torvalds ripping into a person who he disagrees with (usually rightfully, and on solid technical grounds). And yet, pay attention to Dave Airlie's emails. From my past involvement in Mesa3D for the Radeon drivers, I know Dave a little bit, as a kind and friendly person. After the mail of Linus Torvalds, his tone changes significantly, using "crap" twice in a very gratuitous way.

The situation here isn't hostile at all, and yet the language becomes hostile after the supreme alpha geek enters the ring and the others begin to ape his style.

Of course, Linus Torvalds regularly defends this style by saying that it ensures that his message really gets through instead of being dampened by layers of friendly fluff, which he considers to be noise that distracts from the signal. There's truth in that. And yet, here we have evidence that the tone of discussion becomes unwelcoming even when all of the participants are on the same page. This is bound to create an unnecessary rise in serotonin levels at least in some people, which is bound to cause losses to the project.

So is this style really necessary to successfully run a large scale open source project? The answer appears to be No, given how many other projects exist, and how few of them create the kind of noise about their internal conduct as the Linux kernel does.

I do find it interesting to observe that there is possibly no other person in a comparable situation to Linus Torvalds, simply by virtue of how the development of the Linux kernel is structured. Even though he has delegated most of the work, all changes to the Linux kernel eventually must pass through him, as he is the only person who can change the project's master branch. Compare this to other large open source projects, all of which (to my knowledge) allow their master branch to be written to by a group of core developers. It seems to me that there is a curious feedback loop going on between Linus Torvalds' character and the environment he operates in.

Preismechanismus + Ungleichheit = Suboptimal

Märkte - eigentlich genauer: frei bewegliche Preise - sind eine schöne Sache für die Organisation von produktiver Kooperation. Aber Märkte führen nicht immer zu optimalen Ergebnissen. Ich möchte das am Beispiel von Vielleicht-Taxi-Unternehmen wie Uber, Lyft, und so weiter, die sich nicht an die Tarife des regulären Taxigewerbes binden möchten, illustrieren (und stehle damit ganz schamlos vom exzellenten Matt Bruenig, der kein mir bekanntes Pendant im deutschen Sprachraum hat).

Sagen die Ökonomen nicht, dass freie Märkte optimal sind? Nein. Das kann so pauschal auch gar nicht sein, denn "optimal" ist immer relativ zu einer Bemessungsgrundlage. Wer glaubt, dass freie Märkte optimal sind, macht damit also automatisch eine subjektive Wertung.

Was die Ökonomen sagen ist, dass flexible Preise und ein freier Markt markträumend sind. Der Umsatz wird laut Ökonomen maximiert: Damit sich zusätzliche Käufer finden, müsste der Preis sinken, und damit sich zusätzliche Verkäufer finden, müsste der Preis steigen. Ökonomen zeichnen dazu Diagramme, die so aussehen:

Die Ökonomen sagen, dass die Menschen auf Preis-Signal aus ihrer Außenwelt reagieren, also: "Das Produkt kostet X; zu diesem Preis kaufe ich Y". Außerhalb der Parallelwelt der Ökonomen wird die abhängige Variable auf der vertikalen Achse gezeichnet, weshalb es vielleicht einfacher ist, das Diagramm richtig herum zu zeichnen:

Eine zentrale Annahme fließt in das Diagramm mit hinein: Bei steigendem Preis finden sich mehr potentielle Verkäufer, aber weniger potentielle Käufer. Das ist im Allgemeinen natürlich falsch, weshalb dieses einfache Bild auch zurecht kritisiert wird. Für viele Märkte ist es aber ungefähr richtig, so auch bei den Vielleicht-Taxis, die mir als Beispiel dienen.

Aus dieser und weiteren Annahmen (z.B. dass es die gezeichneten Kurven überhaupt gibt) folgt, dass es (genau) einen Preis gibt, zu dem sich die Angebots- und die Nachfragemenge gleichen. Würde man den Preis auf einen anderen Wert festlegen (zum Beispiel per Gesetz), so würde eine geringere Menge umgesetzt, weil entweder die Angebotsmenge unter der Nachfragemenge liegt oder umgekehrt.

Unter gewissen, oft auch plausiblen Annahmen maximiert ein freier Markt also die umgesetzte Menge. Aber ist das auch optimal?

Die Frage der Zielfunktion

Um diese Frage zu beantworten muss man zuerst einmal wissen, was die Gesellschaft eigentlich erreichen will. Das ist gar nicht so einfach. Grundlage für einen Kompromiss ist sicher die Feststellung, dass die Lebensqualität der Menschen wichtig ist. Ökonomen würden von individuellen Nutzenfunktionen reden. Menschen, die durch eine Kombination von Egoismus und entweder Reichtum oder Naivität geprägt sind, würden vermutlich die Summe dieser Nutzenfunktionen maximieren wollen. Menschen, die die Argumente von Rawls und anderen überzeugend finden, würden vermutlich eher erreichen wollen, dass die minimale Lebensqualität maximal wird. Und natürlich gibt es eine weite Bandbreite dazwischen.

Vor diesem Hintergrund möchte ich das Beispiel der Vielleicht-Taxi-Unternehmen untersuchen. Diese argumentieren, dass sie das Angebot an Vielleicht-Taxis erhöhen, wenn sie zu Stoßzeiten oder zu besonderen Krisenanlässen die Preise erhöhen, und dass dadurch ein für die Gesellschaft besseres Ergebnis erzielt wird als durch klassische Taxis mit festen Tarifen. Dass Letzteres im Allgemeinen falsch ist will ich an einem Beispiel illustrieren.

Sagen wir, dass sich am Beispiel-Ort (Taxingen) zur Beispiel-Zeit (2 Uhr dienstags morgens) das Angebot und die Nachfrage nach Taxi-Diensten so eingependelt hat, dass normalerweise 10 Leute eine Fahrt nachfragen und von 10 Fahrern auch bedient werden.

Jetzt kommt die Katastrophe: Vielleicht ein Unwetter, in dessen Folge plötzlich 100 Leute um diese Zeit eine Fahrt nachfragen. Nehmen wir einmal an, dass es im klassischen Taxi-Gewerbe trotzdem noch nur 10 Fahrer gibt (weil ja, der simplen Ökonomen-Logik folgend, nur der gleichbleibende Preis das Angebot bestimmt). Welche der 100 Leute erhalten die 10 Fahrten? Wer einmal in einer solchen Situation war weiß, dass es ziemlich viel mit Zufall zu tun hat.

Im Gegensatz dazu würden die Vielleicht-Taxi-Unternehmen ihre Preise anheben. Nehmen wir einmal an, dass sich dabei der Marktpreis findet (was natürlich nicht stimmt, weil auch diese Unternehmen letztlich Preise zentral steuern - aber wir können gerne so tun, als ob). Sagen wir, dass sie auf diese Weise 10 zusätzliche Fahrer auf die Straße locken können (was schon viel ist, wenn doch die Fahrer sicher auch mit dem Unwetter zu kämpfen haben...). Von den 100 Leuten, die ursprünglich eine Fahrt nachgefragt hätten, halten sich wegen des hohen Preises 80 zurück, so dass auf 20 Fahrer genau 20 verbleibende Kunden kommen. Der Markt ist geräumt, und eine größere Zahl an Fahrten hat stattgefunden.

Welche der 100 Leute erhalten die 20 Fahrten? Die 20, die bereit sind, am meisten Geld dafür zu bieten. Jetzt kommt Ungleichheit ins Spiel. Wenn alle 100 Leute gleich vermögend wären, dann könnten wir davon ausgehen, dass diejenigen, die am meisten Geld für die Fahrt bieten, auch den größten Nutzen davon erzielen. Damit wäre die Summe des Nutzens der 20 Taxifahrten auf jeden Fall größer als der erwartete Nutzen der 10 zufälligen Taxifahrten bei festen Preisen. Wenn Vermögensgleichheit herrschen würde, wäre das Ergebnis also tatsächlich besser.

Ungleichheit entkoppelt Nutzen von Geldwert

Wir leben in einer ungleichen Welt. Ein Beamter im gehobenen Dienst wird 80 Euro für eine nächtliche Taxifahrt, die sonst nur 8 Euro kostet, weg stecken können - eine auf 400 Euro-Basis angestellte Hilfskraft eher nicht, obwohl diese Hilfskraft vielleicht einen höheren Nutzen durch die Fahrt erzielen würde.

Mit dem Preismechanismus erhält besagte Hilfskraft die Fahrt garantiert nicht; ohne den Preismechanismus hat sie wenigstens eine Chance. Es ist durchaus denkbar, dass der erwartete Nutzen bei den 10 zufälligen Fahrten höher ist als bei den 20 Fahrten, die an die Meistbietenden gehen. Das erklärt übrigens auch, weshalb es gerade für ärmere Menschen durchaus rational sein kann, gegen Marktmechanismen zu sein.

Für die Verfechter von freien Märkten ergibt sich eine Zwickmühle. Entweder, sie wollen die finanzielle Ungleichheit, die sich aus ungezügelten Märkten ergibt, beibehalten. Dann müssen sie in Kauf nehmen, dass Märkte eben nicht immer die beste Antwort auf gesellschaftliche Fragen sind. Oder sie wollen die Gesellschaft wirklich marktwirtschaftlich organisieren - aber dann müssen sie in Kauf nehmen, dass aktiv gegen finanzielle Ungleichheit vorgegangen wird. Wer für die Gesellschaft optimale Institutionen will, der muss einen Kompromiss suchen.

Realistisch gesehen ist das gerade den radikalen Verfechtern von freien Märkten - Mitglieder einer gewissen neuerdings trichromen Partei, zum Beispiel - natürlich alles egal. Ihnen geht es nicht darum, gesellschaftlich optimale Institutionen zu schaffen. Sie sind einfach Überzeugungstäter, oder nur an der eigenen privilegierten Position interessiert, oder beides.

Noch mehr Spaghetti! Wie soll Staatsfinanzierung durch die EZB aussehen?

Im Freitag erscheint ein Artikel von Christian Felber mit dem etwas albernen Titel "Mehr Spaghetti für die Wirtschaft". Der Artikel handelt nicht etwa von Griechenland, wie man angesichts des aktuellen, etwas ermüdenden Dauerthemas erwarten könnte, sondern von der EZB-Politik des Quantitative Easings. Der geneigte Leser sollte ihn am besten jetzt sofort lesen. Dieses Blog hier wartet solange geduldig.

Es stimmt vollkommen, dass die Staatsfinanzierung über Finanzmärkte ein unsinniges, undemokratisches Konstrukt ist. Der Vorschlag von Christian Felber, Staatsanleihen bis zur Höhe von 50% des BIP direkt und ohne Zinsen von der EZB kaufen zu lassen ist gut und richtig. Ich würde aber noch einen Schritt weiter gehen.

Woher kommt eigentlich diese Zahl von 50%? Mit den 50% ist es genau wie mit den fast schon in Vergessenheit geratenen 60% aus dem Vertrag von Maastricht oder den durch Reinhart und Rogoff popularisierten 90%. Diese Zahlen sind aus der Luft gegriffen. In Vergessenheit gerät dabei, dass Keynes für eine expansive Fiskalpolitik plädiert hat, als der Schuldenstand weit oberhalb von 100% zum BIP lag. Was ist also die richtige Zahl?

Es gibt keine, und zwar aus gutem Grund. Die wesentliche und notwendige Funktion von Staatsschulden ist die des Gegengewichts zu privaten Vermögen. Private Haushalte versuchen aus den verschiedensten und meist auch berechtigten Gründen, direkt oder indirekt Vermögen aufzubauen. Das schafft finanzielle Freiheit, sorgt vor fürs Alter, und so weiter. Dieses Vermögen kann zum Beispiel in Form eines Eigenheims oder in Form von Anteilen an privaten Unternehmen gehalten werden. Insgesamt gibt es aber nie genügend Werte - und vor allem nicht genügend Werte der gewünschten Bonität - um die "Nachfrage" nach Vermögen zu bedienen (das ist keine mathematisch zwingende Tatsache, sondern eine empirische Beobachtung). Ohne Staatsschulden führt diese "Nachfrage" nach Vermögen zu einem Sparverhalten, das die Nachfrage nach Gütern und Dienstleistungen drückt und dadurch die Wirtschaft abwürgt. Staatsschulden dienen als Ausgleichsventil, weil sie einen Vermögenswert guter Bonität zur Verfügung stellen.

Wie viele Staatsschulden werden für diese Funktion als Ausgleichsventil benötigt? Das hängt vom Sparverhalten der privaten Haushalte und vom Verhalten der privaten Wirtschaft ab. Deshalb ist eine feste Zahl Unsinn - egal ob man sie nun auf 50%, 60%, 90%, oder gar 200% setzt. Die Aufgabe der Politik muss es sein, angemessen auf das Verhalten des Privatsektors zu reagieren.

Für die Eurozone bedeutet das, dass die EZB Staatsfinanzierung nicht nur bis zu einer festen Grenze leisten sollte, sondern - den Umständen entsprechend - potentiell unbegrenzt. Natürlich darf der Zugriff auf diese Finanzierung nicht nur von der Politik der individuellen Mitgliedsstaaten abhängig sein, da sonst einer Inflationsspirale nichts im Weg stünde (das ist offensichtlich und wurde auch schon von Christian Felber angemerkt). Außerdem gibt es noch das Problem der Fairness: Wenn Österreich aus guten Gründen ordentlich bei der EZB zugreift, dann werden die Populisten in Deutschland darauf pochen, dass das unfair ist und man zumindest genauso zugreifen sollte - auch wenn es in Deutschland vielleicht gar keinen ökonomisch angemessenen Grund dafür gibt. Dann werden Geschenke verteilt, die man bald wieder rückgängig machen muss.

Meine favorisierte Lösung ist daher, dass man ein System fester Grenzen, wie es von Christian Felber vorgeschlagen wird, durch automatische Stabilisatoren ergänzt, die einheitlich für die Eurozone sind. Der progressivste Vorschlag in diese Richtung ist eine Euro-weite Job-Garantie. Es wäre aber auch denkbar, verschiedene Sozialsysteme, wie zum Beispiel eine Arbeitslosigkeitsversicherung, auf Ebene der Eurozone zu errichten und durch die EZB abzusichern (die Sozialsysteme der einzelnen Mitgliedsstaaten würden natürlich - entsprechend reduziert - als Ergänzung weitergeführt). Der Vorteil liegt auf der Hand: Wenn in der nächsten Krise die Arbeitslosigkeit wieder in die Höhe schnellt, und staatliche Ausgaben am dringendsten benötigt werden, dann wird der größte Teil dieser Last durch die Eurozone insgesamt getragen. Einzelne Staaten geraten nicht mehr in einen fiskalischen Teufelskreis, und eine humanitäre Katastrophe, wie wir sie jetzt in Griechenland erlebt haben, kann auf gerechte Weise vermieden werden.