Zwei Briefumschläge und ein probabilistisches Wunder, Teil 2

Beim letzten Mal habe ich ein Rätsel vorgestellt und dessen Lösung versprochen. Wer über das Rätsel noch nicht nachgedacht hat, sollte jetzt schnell in einen anderen Tab wechseln oder die folgenden Spoiler in Kauf nehmen.

Aber bevor ich die Lösung präsentiere, hier zunächst noch einmal das Rätsel in Kurzform. Der Quiz-Master M in einer Quiz-Show hat zwei verschlossene Briefumschläge, in denen jeweils ein Zettel mit einer Zahl steckt. Die beiden Zahlen sind verschieden, aber darüber hinaus ist nichts bekannt, und der Quiz-Teilnehmer T muss sich nun festlegen, in welchem Umschlag er die größere Zahl glaubt. Liegt er richtig, so kann er in die nächste Runde weiter rücken.

Wir haben bereits gesehen, dass ohne ein Blick in die Umschläge die beste Strategie für T ist, einen der Umschläge zufällig auszuwählen. Er rückt dann mit Wahrscheinlichkeit 1/2 weiter. Deswegen denken wir über zwei Varianten nach.

1. Der Quiz-Master (M) öffnet einen der Umschläge und zeigt T die Zahl darin, bevor dieser sich festlegen muss.
2. T darf einen Umschlag seiner Wahl öffnen und die Zahl darin ansehen, bevor er sich festlegen muss.

Dem Quiz-Master ausgeliefert

In der ersten Variante gibt es keine bessere Strategie für T, und der Beweis ist ganz ähnlich zu dem im letzten Beitrag. Wir müssen die Strategie von M nur etwas präzisieren.

M schreibt in einen der Umschläge die Zahl 0. Danach entscheidet er mit Hilfe einer Münze, ob er in den anderen Umschlag die Zahl 1 oder -1 schreibt. Während der Show öffnet er immer den Umschlag mit der Zahl 0.

Wenn sich T auf einen Umschlag festlegt, dann geschieht dies stochastisch unabhängig vom Münzwurf von M, und damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass T weiter rückt, in jedem Fall 1/2 (denn er liegt mit dieser Wahrscheinlichkeit richtig, egal welchen Umschlag er wählt). Der formale Beweis ist analog zu dem letztes Mal diskutierten.


Die Wahl des Briefumschlags ist entscheidend

Wenn der Quiz-Master M die geschilderte Strategie einsetzt, und aber T auswählen kann, welcher Briefumschlag geöffnet werden soll, dann sieht die Situation auf einmal anders aus. Dann wählt T nämlich einen Umschlag zufällig aus. Mit 50%-iger Wahrscheinlichkeit öffnet er dabei den Umschlag, in dem die 0 steht - und dann ist er genau so schlau wie vorher. Ebenfalls mit 50%-iger Wahrscheinlichkeit öffnet er aber den anderen Umschlag, und dann gewinnt er in jedem Fall, weil er weiß, dass der ungeöffnete Umschlag eine 0 enthält. T gewinnt also mit Wahrscheinlichkeit 75%.

Diese Argumentation funktioniert aber nur, weil T weiß, wie sich der Quiz-Master verhält. Wie sieht es aus, wenn man dieses Wissen nicht hat? Erstaunlicherweise gibt es eine Strategie, die ganz allgemein funktioniert: T wählt zunächst eine zufällige Zahl z, gezogen gemäß einer Verteilung, deren Dichte überall positiv ist. Danach öffnet er einen der beiden Umschläge, zufällig gewählt. Wenn z größer als die Zahl im geöffneten Briefumschlag ist, so sagt T, die Zahl im anderen Umschlag sei größer, und umgekehrt.

Wie gut ist diese Strategie? Dazu unterscheidet man, ob z sich zwischen den Zahlen in den Umschlägen befindet oder nicht. Liegt z nicht dazwischen, so ist T genau so schlau wie vorher und gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 50%. Liegt z aber zwischen den Zahlen in den beiden Umschlägen, so wird T immer richtig liegen. Da dies mit positiver Wahrscheinlichkeit geschieht, liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit von T insgesamt ein wenig über 50%.